Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique $p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille $4$ est la matrice carrée $4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans $p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 3.1

Remplacez $A$ par $[\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 3.2

Remplacez $I_{4}$ par $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.10.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.12.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.13.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.14.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15

Multipliez $- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.15.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez $0$ par $λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.16

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 4 & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 + 0 & 3 + 0 & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & h + 0 & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ & 14 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 & 3 + 0 & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & h + 0 & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ & 14 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 & 3 & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 2 - λ & h + 0 & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ & 14 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez $3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 & 3 & 3 \\ 0 + 0 & 2 - λ & h + 0 & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ & 14 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 - λ & h + 0 & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ & 14 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez $h$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 - λ & h & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ & 14 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez $3$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 - λ & h & 3 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ & 14 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.7

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 0 + 0 & 4 - λ & 14 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ & 14 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.9

Additionnez $14$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.10

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.11

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.12

Additionnez $0$ et $0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 4 - λ & 2 & 3 & 3 \\ 0 & 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 & 0 & 0 & 2 - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \end{array} |$

Étape 5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \end{array} |$

Étape 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \end{array} |$

Étape 5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \end{array} |$

Étape 5.4

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} 2 & 3 & 3 \\ 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5

Évaluez $| \begin{array}{c} 2 - λ & h & 3 \\ 0 & 4 - λ & 14 \\ 0 & 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 - λ & 14 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 14 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} h & 3 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} h & 3 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} h & 3 \\ 4 - λ & 14 \end{array} |$

Étape 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} h & 3 \\ 4 - λ & 14 \end{array} |$

Étape 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 14 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} h & 3 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} h & 3 \\ 4 - λ & 14 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.2

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} h & 3 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 14 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} h & 3 \\ 4 - λ & 14 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.3

Multipliez $0$ par $| \begin{array}{c} h & 3 \\ 4 - λ & 14 \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 4 - λ & 14 \\ 0 & 2 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4

Évaluez $| \begin{array}{c} 4 - λ & 14 \\ 0 & 2 - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) ((4 - λ) (2 - λ) + 0 \cdot 14) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.1

Développez $(4 - λ) (2 - λ)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.5.4.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (4 (2 - λ) - λ (2 - λ) + 0 \cdot 14) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (4 \cdot 2 + 4 (- λ) - λ (2 - λ) + 0 \cdot 14) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (4 \cdot 2 + 4 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 14) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (8 + 4 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 14) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (8 - 4 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) + 0 \cdot 14) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (8 - 4 λ - 2 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 14) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 14) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 14) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (8 - 4 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 14) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (8 - 4 λ - 2 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 14) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.1.7

Multipliez $λ^{2}$ par $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (8 - 4 λ - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 14) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.2

Soustrayez $2 λ$ de $- 4 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (8 - 6 λ + λ^{2} + 0 \cdot 14) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.1.3

Multipliez $0$ par $14$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (8 - 6 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.2

Additionnez $8 - 6 λ + λ^{2}$ et $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (8 - 6 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.3

Déplacez $8$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (- 6 λ + λ^{2} + 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.4.2.4

Remettez dans l’ordre $- 6 λ$ et $λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.5.1

Associez les termes opposés dans $(2 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) + 0 + 0$ .

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Étape 5.5.5.1.1

Additionnez $(2 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$ et $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8) + 0) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.1.2

Additionnez $(2 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$ et $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.2

Développez $(2 - λ) (λ^{2} - 6 λ + 8)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = (4 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 6 λ) + 2 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.3.1

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$p (λ) = (4 - λ) (2 λ^{2} - 12 λ + 2 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$p (λ) = (4 - λ) (2 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.3

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.3.3.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (2 λ^{2} - 12 λ + 16 - (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.3.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.5.5.3.3.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (2 λ^{2} - 12 λ + 16 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = (4 - λ) (2 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (2 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ^{3} - λ (- 6 λ) - λ \cdot 8) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (4 - λ) (2 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - λ \cdot 8) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.5

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.3.5.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (2 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.5.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (2 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - λ \cdot 8) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$p (λ) = (4 - λ) (2 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ^{3} + 6 λ^{2} - λ \cdot 8) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.3.7

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (2 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ^{3} + 6 λ^{2} - 8 λ) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.4

Additionnez $2 λ^{2}$ et $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (8 λ^{2} - 12 λ + 16 - λ^{3} - 8 λ) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.5

Soustrayez $8 λ$ de $- 12 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (8 λ^{2} - 20 λ + 16 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.6

Déplacez $16$ .

$p (λ) = (4 - λ) (8 λ^{2} - 20 λ - λ^{3} + 16) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.7

Déplacez $- 20 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (8 λ^{2} - λ^{3} - 20 λ + 16) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.5.5.8

Remettez dans l’ordre $8 λ^{2}$ et $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 20 λ + 16) + 0 + 0 + 0$

Étape 5.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.6.1

Associez les termes opposés dans $(4 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 20 λ + 16) + 0 + 0 + 0$ .

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Étape 5.6.1.1

Additionnez $(4 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 20 λ + 16)$ et $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 20 λ + 16) + 0 + 0$

Étape 5.6.1.2

Additionnez $(4 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 20 λ + 16)$ et $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 20 λ + 16) + 0$

Étape 5.6.1.3

Additionnez $(4 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 20 λ + 16)$ et $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 20 λ + 16)$

Étape 5.6.2

Développez $(4 - λ) (- λ^{3} + 8 λ^{2} - 20 λ + 16)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 4 (- λ^{3}) + 4 (8 λ^{2}) + 4 (- 20 λ) + 4 \cdot 16 - λ (- λ^{3}) - λ (8 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 (8 λ^{2}) + 4 (- 20 λ) + 4 \cdot 16 - λ (- λ^{3}) - λ (8 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.2

Multipliez $8$ par $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} + 4 (- 20 λ) + 4 \cdot 16 - λ (- λ^{3}) - λ (8 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.3

Multipliez $- 20$ par $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 4 \cdot 16 - λ (- λ^{3}) - λ (8 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.4

Multipliez $4$ par $16$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 - λ (- λ^{3}) - λ (8 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (8 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.6

Multipliez $λ$ par $λ^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.3.6.1

Déplacez $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (8 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.6.2

Multipliez $λ^{3}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.3.6.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (8 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (8 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (8 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 + 1 λ^{4} - λ (8 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.8

Multipliez $λ^{4}$ par $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 + λ^{4} - λ (8 λ^{2}) - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 + λ^{4} - 1 \cdot 8 λ \cdot λ^{2} - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.10

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.10.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 + λ^{4} - 1 \cdot 8 (λ^{2} λ) - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.10.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.3.10.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 + λ^{4} - 1 \cdot 8 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 + λ^{4} - 1 \cdot 8 λ^{2 + 1} - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 + λ^{4} - 1 \cdot 8 λ^{3} - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.11

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 + λ^{4} - 8 λ^{3} - λ (- 20 λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 + λ^{4} - 8 λ^{3} - 1 \cdot - 20 λ \cdot λ - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.13

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.3.13.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 + λ^{4} - 8 λ^{3} - 1 \cdot - 20 (λ \cdot λ) - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.13.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 + λ^{4} - 8 λ^{3} - 1 \cdot - 20 λ^{2} - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.14

Multipliez $- 1$ par $- 20$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 + λ^{4} - 8 λ^{3} + 20 λ^{2} - λ \cdot 16$

Étape 5.6.3.15

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 + λ^{4} - 8 λ^{3} + 20 λ^{2} - 16 λ$

Étape 5.6.4

Soustrayez $8 λ^{3}$ de $- 4 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 12 λ^{3} + 32 λ^{2} - 80 λ + 64 + λ^{4} + 20 λ^{2} - 16 λ$

Étape 5.6.5

Additionnez $32 λ^{2}$ et $20 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 12 λ^{3} + 52 λ^{2} - 80 λ + 64 + λ^{4} - 16 λ$

Étape 5.6.6

Soustrayez $16 λ$ de $- 80 λ$ .

$p (λ) = - 12 λ^{3} + 52 λ^{2} - 96 λ + 64 + λ^{4}$

Étape 5.6.7

Déplacez $64$ .

$p (λ) = - 12 λ^{3} + 52 λ^{2} - 96 λ + λ^{4} + 64$

Étape 5.6.8

Déplacez $- 96 λ$ .

$p (λ) = - 12 λ^{3} + 52 λ^{2} + λ^{4} - 96 λ + 64$

Étape 5.6.9

Déplacez $52 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 12 λ^{3} + λ^{4} + 52 λ^{2} - 96 λ + 64$

Étape 5.6.10

Remettez dans l’ordre $- 12 λ^{3}$ et $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 12 λ^{3} + 52 λ^{2} - 96 λ + 64$

Étape 6

Définissez le polynôme caractéristique égal à $0$ pour déterminer les valeurs propres $λ$ .

$λ^{4} - 12 λ^{3} + 52 λ^{2} - 96 λ + 64 = 0$

Étape 7

Résolvez $λ$ .

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Factorisez $λ^{4} - 12 λ^{3} + 52 λ^{2} - 96 λ + 64$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 64, \pm 2, \pm 32, \pm 4, \pm 16, \pm 8$

Étape 7.1.1.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.1.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{4} - 12 \cdot 2^{3} + 52 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 + 64$

Étape 7.1.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 12 \cdot 2^{3} + 52 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 + 64$

Étape 7.1.1.3.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$16 - 12 \cdot 8 + 52 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 + 64$

Étape 7.1.1.3.4

Multipliez $- 12$ par $8$ .

$16 - 96 + 52 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 + 64$

Étape 7.1.1.3.5

Soustrayez $96$ de $16$ .

$- 80 + 52 \cdot 2^{2} - 96 \cdot 2 + 64$

Étape 7.1.1.3.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 80 + 52 \cdot 4 - 96 \cdot 2 + 64$

Étape 7.1.1.3.7

Multipliez $52$ par $4$ .

$- 80 + 208 - 96 \cdot 2 + 64$

Étape 7.1.1.3.8

Additionnez $- 80$ et $208$ .

$128 - 96 \cdot 2 + 64$

Étape 7.1.1.3.9

Multipliez $- 96$ par $2$ .

$128 - 192 + 64$

Étape 7.1.1.3.10

Soustrayez $192$ de $128$ .

$- 64 + 64$

Étape 7.1.1.3.11

Additionnez $- 64$ et $64$ .

$0$

Étape 7.1.1.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $λ - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{λ^{4} - 12 λ^{3} + 52 λ^{2} - 96 λ + 64}{λ - 2}$

Étape 7.1.1.5

Divisez $λ^{4} - 12 λ^{3} + 52 λ^{2} - 96 λ + 64$ par $λ - 2$ .

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Étape 7.1.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

Étape 7.1.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $λ^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

Étape 7.1.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Étape 7.1.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $λ^{4} - 2 λ^{3}$

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

Étape 7.1.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

Étape 7.1.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$λ^{3}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 10 λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$10 λ^{3}$

$20 λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 10 λ^{3} + 20 λ^{2}$

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$10 λ^{3}$

$20 λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$10 λ^{3}$

$20 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

Étape 7.1.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$10 λ^{3}$

$20 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$96 λ$

Étape 7.1.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $32 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$10 λ^{3}$

$20 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$96 λ$

Étape 7.1.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$10 λ^{3}$

$20 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$96 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

Étape 7.1.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $32 λ^{2} - 64 λ$

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$10 λ^{3}$

$20 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$96 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

Étape 7.1.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$10 λ^{3}$

$20 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$96 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$32 λ$

Étape 7.1.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$32 λ$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$10 λ^{3}$

$20 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$96 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$32 λ$

$64$

Étape 7.1.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 32 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$32 λ$

$32$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$10 λ^{3}$

$20 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$96 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$32 λ$

$64$

Étape 7.1.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$32 λ$

$32$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$10 λ^{3}$

$20 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$96 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$32 λ$

$64$

$32 λ$

$64$

Étape 7.1.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 32 λ + 64$

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$32 λ$

$32$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$10 λ^{3}$

$20 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$96 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$32 λ$

$64$

$32 λ$

$64$

Étape 7.1.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$32 λ$

$32$

$λ$

$2$

$λ^{4}$

$12 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$96 λ$

$64$

$λ^{4}$

$2 λ^{3}$

$10 λ^{3}$

$52 λ^{2}$

$10 λ^{3}$

$20 λ^{2}$

$32 λ^{2}$

$96 λ$

$32 λ^{2}$

$64 λ$

$32 λ$

$64$

$32 λ$

$64$

$0$

Étape 7.1.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$λ^{3} - 10 λ^{2} + 32 λ - 32$

Étape 7.1.1.6

Écrivez $λ^{4} - 12 λ^{3} + 52 λ^{2} - 96 λ + 64$ comme un ensemble de facteurs.

$(λ - 2) (λ^{3} - 10 λ^{2} + 32 λ - 32) = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $λ^{3} - 10 λ^{2} + 32 λ - 32$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 7.1.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1$

Étape 7.1.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 32, \pm 2, \pm 16, \pm 4, \pm 8$

Étape 7.1.2.3

Remplacez $2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $2$ est une racine du polynôme.

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Étape 7.1.2.3.1

Remplacez $2$ dans le polynôme.

$2^{3} - 10 \cdot 2^{2} + 32 \cdot 2 - 32$

Étape 7.1.2.3.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 10 \cdot 2^{2} + 32 \cdot 2 - 32$

Étape 7.1.2.3.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 10 \cdot 4 + 32 \cdot 2 - 32$

Étape 7.1.2.3.4

Multipliez $- 10$ par $4$ .

$8 - 40 + 32 \cdot 2 - 32$

Étape 7.1.2.3.5

Soustrayez $40$ de $8$ .

$- 32 + 32 \cdot 2 - 32$

Étape 7.1.2.3.6

Multipliez $32$ par $2$ .

$- 32 + 64 - 32$

Étape 7.1.2.3.7

Additionnez $- 32$ et $64$ .

$32 - 32$

Étape 7.1.2.3.8

Soustrayez $32$ de $32$ .

$0$

Étape 7.1.2.4

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $λ - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{λ^{3} - 10 λ^{2} + 32 λ - 32}{λ - 2}$

Étape 7.1.2.5

Divisez $λ^{3} - 10 λ^{2} + 32 λ - 32$ par $λ - 2$ .

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Étape 7.1.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$10 λ^{2}$

$32 λ$

$32$

Étape 7.1.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $λ^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$10 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$32$

Étape 7.1.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$10 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$32$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Étape 7.1.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $λ^{3} - 2 λ^{2}$

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$10 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$32$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Étape 7.1.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$10 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$32$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$8 λ^{2}$

Étape 7.1.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$10 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$32$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$8 λ^{2}$	+	$32 λ$

Étape 7.1.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 λ^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$8 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$10 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$32$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$8 λ^{2}$	+	$32 λ$

Étape 7.1.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$	-	$8 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$10 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$32$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$8 λ^{2}$	+	$32 λ$
					-	$8 λ^{2}$	+	$16 λ$

Étape 7.1.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 λ^{2} + 16 λ$

				$λ^{2}$	-	$8 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$10 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$32$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$8 λ^{2}$	+	$32 λ$
					+	$8 λ^{2}$	-	$16 λ$

Étape 7.1.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$	-	$8 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$10 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$32$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$8 λ^{2}$	+	$32 λ$
					+	$8 λ^{2}$	-	$16 λ$
							+	$16 λ$

Étape 7.1.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$λ^{2}$	-	$8 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$10 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$32$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$8 λ^{2}$	+	$32 λ$
					+	$8 λ^{2}$	-	$16 λ$
							+	$16 λ$	-	$32$

Étape 7.1.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 λ$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$16$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$10 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$32$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$8 λ^{2}$	+	$32 λ$
					+	$8 λ^{2}$	-	$16 λ$
							+	$16 λ$	-	$32$

Étape 7.1.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$16$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$10 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$32$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$8 λ^{2}$	+	$32 λ$
					+	$8 λ^{2}$	-	$16 λ$
							+	$16 λ$	-	$32$
							+	$16 λ$	-	$32$

Étape 7.1.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 λ - 32$

				$λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$16$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$10 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$32$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$8 λ^{2}$	+	$32 λ$
					+	$8 λ^{2}$	-	$16 λ$
							+	$16 λ$	-	$32$
							-	$16 λ$	+	$32$

Étape 7.1.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$λ^{2}$	-	$8 λ$	+	$16$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$10 λ^{2}$	+	$32 λ$	-	$32$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$8 λ^{2}$	+	$32 λ$
					+	$8 λ^{2}$	-	$16 λ$
							+	$16 λ$	-	$32$
							-	$16 λ$	+	$32$
										$0$

Étape 7.1.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$λ^{2} - 8 λ + 16$

Étape 7.1.2.6

Écrivez $λ^{3} - 10 λ^{2} + 32 λ - 32$ comme un ensemble de facteurs.

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 8 λ + 16)) = 0$

Étape 7.1.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.1.3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.1.3.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 8 λ + 4^{2})) = 0$

Étape 7.1.3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 λ = 2 \cdot λ \cdot 4$

Étape 7.1.3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$(λ - 2) ((λ - 2) (λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 7.1.3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = λ$ et $b = 4$ .

$(λ - 2) ((λ - 2) {(λ - 4)}^{2}) = 0$

Étape 7.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ - 4)}^{2} = 0$

Étape 7.1.4

Associez les facteurs similaires.

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Étape 7.1.4.1

Élevez $λ - 2$ à la puissance $1$ .

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ - 4)}^{2} = 0$

Étape 7.1.4.2

Élevez $λ - 2$ à la puissance $1$ .

$(λ - 2) (λ - 2) {(λ - 4)}^{2} = 0$

Étape 7.1.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(λ - 2)}^{1 + 1} {(λ - 4)}^{2} = 0$

Étape 7.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

${(λ - 2)}^{2} {(λ - 4)}^{2} = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(λ - 2)}^{2} = 0$

${(λ - 4)}^{2} = 0$

Étape 7.3

Définissez ${(λ - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.3.1

Définissez ${(λ - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(λ - 2)}^{2} = 0$

Étape 7.3.2

Résolvez ${(λ - 2)}^{2} = 0$ pour $λ$ .

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Étape 7.3.2.1

Définissez le $λ - 2$ égal à $0$ .

$λ - 2 = 0$

Étape 7.3.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 2$

Étape 7.4

Définissez ${(λ - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $λ$ .

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Étape 7.4.1

Définissez ${(λ - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(λ - 4)}^{2} = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez ${(λ - 4)}^{2} = 0$ pour $λ$ .

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Étape 7.4.2.1

Définissez le $λ - 4$ égal à $0$ .

$λ - 4 = 0$

Étape 7.4.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$λ = 4$

Étape 7.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(λ - 2)}^{2} {(λ - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$λ = 2, 4$